¿Es 2 > 1? ¡Demuéstralo!

A primera vista, esta puede parecer una pregunta tonta, infantil o capciosa, porque a todos nos enseñaron que lógicamente el número 2 es mayor que el 1. Y aunque no hubiéramos ido al colegio, bastaría una simple noción de cantidad para notar que es así. Seguro que hasta un niño de nido podría responder esta pregunta.

Pero esta no es una pregunta capciosa. Es un legítimo problema de matemáticas, y está muy relacionado con otro problema que ha atormentado a las mentes más brillantes, y que tiene que ver con el fundamento mismo de las matemáticas.

Precisando la pregunta

Empecemos precisando la pregunta: ¿Es el número 2 mayor que el número 1?

Para simplificar el problema (como si no fuera ya simple) restringiremos la pregunta al conjunto de los números naturales. Aquellos con los que nos encontramos en los primeros días de la escuela.

Si la respuesta es afirmativa (o inclusive negativa), lo que se pide es una demostración.

– ¿Demostrar que 2 es mayor que 1? ¿Me estáis tomando el pelo?

Para nada.

Si me dices que el número 2 es mayor que el 1, solo se está pidiendo una demostración. Una verdadera demostración matemática.

– Pero hombre, si eso mismo no necesita demostración. Solo mira aquí tengo dos manzanas, y aquí tengo una. ¿Qué cantidad es mayor?

Eso está bien. Usar la noción de cantidad como comparación. Pero no olvidar que los números son entidades matemáticas abstractas. No tienen representación en el mundo real.

Las manzanas no existen en el mundo ideal de las matemáticas. Así que si bien podemos modelar cantidades con manzanas, las manzanas no son números.

– Pues igual ponle el espíritu de las manzanas, en lugar de manzanas de verdad. Igual podemos comparar la cantidad de espíritus que igual son abstractos. Digo. ¿O no?

Creo que no me estás entendiendo. Lo que sucede es que para asumir que los conjuntos de manzanas, o de lo que sea, representan a números, tenemos que basarnos en alguna teoría matemática. De esa manera podremos hacer comparaciones y demostraciones.

– Pues tío. A ver, explícame eso.

De acuerdo. Aquí vamos

Los números naturales

Todos sabemos, o al menos tenemos una noción, de lo que son lo números naturales. Pero en matemáticas no valen mucho las nociones.

Para hacer demostraciones sobre los números naturales, necesitamos primero tener una teoría matemática sobre los números naturales.

Esta fue un gran preocupación de los matemáticos a inicios de 1900, porque se habían usado a los números naturales como la base de muchos desarrollos matemáticos, pero no había un fundamento claro para los mismos números naturales.

En el intento por poner orden en la casa, tenemos al matemático Georg Cantor, quien desarrolló una extensa teoría de conjuntos, construida sobre la lógica, que luego se usaría como base para definir a los números naturales y a toda la matemática en sí.

La idea era simple: «Construyamos los cimientos más solidos posibles para las matemáticas. Así le daremos consistencia perfecta». La historia demostró, que esa historia no tuvo un final feliz, pero eso es material para otra historia.

De momento, podemos imaginarnos al matemático Ernst Zermelo, trabajando sobre la teoría de conjuntos de Cantor, y «arreglándola» (en términos informáticos diríamos «depurando») para evitar las paradojas que tanto daño le habían hecho a la teoría.

El objetivo final de Zermelo, era demostrar la Hipótesis del continuo, pero para eso necesitaba ordenar la casa, empezando desde la misma teoría de conjuntos, los números naturales (ℕ), y los extraños infinitos que aparecían.

El trabajo de Zermelo, con una ayudita de Adolf Fraenkel, produjo lo que se conoce como «Los axiomas de Zermelo-Fraenkel» o Axiomas ZF. Estos axiomas establecen la bases de la teoría de conjuntos usando lógica de primer orden.

Con la teoría de conjuntos arreglada (con algunos «bugs» menores), se pudo definir una teoría matemática para los números naturales. En resumen esta teoría define a los números como conjuntos (¿qué más podrían ser?), diseñados convenientemente para desarrollar toda la aritmética conocida de ℕ.

En resumen a cada número de los que conocemos como «Números Naturales», se definen como un conjunto.

• Al 0, lo definimos como el conjunto vacío: {} o ∅
• Al 1 los definimos como un conjunto unitario que contiene al 0: {∅} o {0}.
• Al 2 lo definimos como un conjunto que contiene al 0 y al 1: {∅,{∅}} o {0,1}
• Al 3 lo definimos como el conjunto {∅, {∅}, {∅,{∅}}} o {0,1,2}, y así sucesivamente.

Como podemos ver, los números naturales son simples conjuntos, que son vacío o contienen conjuntos vacíos o conjuntos de conjuntos vacíos, o, … tú me entiendes.

En pocas palabras, en esta Teoría de Conjuntos, los números son, básicamente, nada.

¿Y Peano?

La Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (No es la única), permite definir bien a los Números Naturales a partir de los axiomas ZF.

Pero hubo alguien a quien no le interesó usar Teoría de Conjuntos para justificar a los Números Naturales. Este señor fue el que aparece en la foto. No. no es Rasputín, es el matemático italiano Giuseppe Peano, quien partió de unos pocos axiomas (como inician las buenas teorías matemáticas) para construir todo el conjunto de números naturales.

Peano postuló hasta 9 axiomas que se presentan de diferentes formas, pero los que nos interesan dicen:

• El 0 es un número natural. (O el 1, según convenga)
• Si n es un número natural, entonces el sucesor de n (al que llamaremos S(n) ) también es natural.
• El 0 no es sucesor de ningún número natural.

Con solo estos 3 axiomas tenemos ya construido todo el conjunto de números naturales, a partir del 0.

En el esquema de Peano, solo se le da nombre al número 0. Por definición, el 1 sería el sucesor del 0, o S(0), el 2 sería el sucesor del 1 o S(S(0)), y así hasta el infinito.

La demostración

Con cualquiera de estas dos teorías matemáticas, podemos ya esbozar una demostración para la pregunta inicial.

Usando los axiomas ZF, primero necesitamos definir el símbolo «<«. Lo podemos definir de la siguiente forma:

Sean A y B dos números naturales (o sea conjuntos).

A<B si y solo si, A ∈ B 

En nuestro caso tenemos los conjuntos:

• 1 = {0}
• 2 = {0,1}

Y como «1 ∈ 2», concluimos que «1 < 2», que es lo que queremos demostrar.

Facil ¿Verdad?

¿Y que tal si usamos ahora los Axiomas de Peano?

También sería fácil, porque la definición común del símbolo «≤» es

x≤y si y solo si ∃z(x+z=y)

Reemplazando en nuestra desigualdad, tendríamos:

1≤2 si y solo si ∃z(1+z=2)

Así que solo necesitamos encontrar un valor «z» que cumpla 1+z=2. ¿Cuál será?

No hay que buscar mucho. Con z = 1, hacemos cumplir la parte derecha de la equivalencia, y así hemos demostrado que «1<2».

¿Eso es todo?

No exactamente. Porque nos faltaría demostrar que: 1+1=2.

No es broma.

La demostración es también sencilla usando los axiomas apropiados de Peano. Aquí podemos encontrar una demostración.

Conclusión

Si usted no se siente satisfecho con lo que nos dicen las teorías matemáticas sobre los números; no hay problema, las matemáticas no son religión, siempre se podrán postular nuevas teorías. Solo hay que elegir bien los axiomas base y lo demás es pura lógica. ¿Quién sabe? A lo mejor usted es el próximo Zermelo.