Mitos y verdades sobre las Matemáticas – Parte 2

Las matemática son descubrimiento o invención.

Esta es una de las cuestiones mas recurrentes y más difíciles de contestar.

La matemática es una ciencia cuyo principal objeto de estudio son elementos abstractos ideales, perfectos y también, inexistentes. Se ha desarrollado siguiendo el pensamiento lógico y racional (que es una forma de pensar) y, al menos en sus inicios, estaba asociada a fenómenos del mundo concreto. Es así que los números naturales representan cantidades de objetos, y su utilidad pudo haber sido llevar la cuenta de posesiones, ganado o soldados. La suma aritmética (abstracta) representa a la reunión de objetos físicos (concreto).

De esta forma, las matemáticas nos permiten «modelar» el mundo. Modelar significa: Crear modelos. Un modelo matemático(1) significa una representación, en el lenguaje de las matemáticas (ecuaciones, fórmulas) de un fenómeno físico o del mundo real. Un ejemplo clásico de modelamiento de la realidad, es la fórmula física de la segunda ley de Newton: F=mA, que nos describe el movimiento de la masa ante el efecto de fuerzas externas.

Esta fórmula es bastante precisa (sin considerar los efectos relativistas y cuánticos) y se ha verificado innumerables veces, con un grado de precisión bastante aceptable. Es como si alguien hubiera creado un universo que debe seguir, estrictamente, las leyes físicas; que a diferencia de las leyes humanas, siempre se cumplen.

De allí que se piense que la matemática “ya existía” en el mundo (por lo que sería un descubrimiento), porque el mundo parece estar diseñado matemáticamente. Y no solo eso, sino que esas matemáticas parecen ser accesibles a la mente humana, al menos aproximada.

Pero, aunque esto fuera cierto, es cierto también, que nuestras matemáticas, modelan el mundo de forma imperfecta o aproximada. Es posible desarrollar una nueva matemática, totalmente diferente, que también modele el mundo de forma aproximada, pero que sea contradictoria con nuestra matemática actual (Ver artículo anterior). E incluso es posible que civilizaciones extraterrestres hayan desarrollado unas matemáticas que modelen el universo mejor de lo que podemos hacer nosotros.

En otras palabras, no hay una sola matemática, sino muchas; lo que implica que las matemáticas serían una invención. Y que cada civilización podría crear la suya. ¿Cuál es la verdadera entonces? ¿Cuál describe exactamente el universo? Tal vez nunca lo sabremos. Tal vez no estemos en la capacidad, como humanos, de crear y entender las matemáticas del «creador».

Entonces ¿Es la matemática invención o descubrimiento?

La respuesta podría ser, que es las dos cosas a la vez. Porque, por un lado, el universo parece contener matemáticas en su diseño fundamental, es decir, ya existían las matemáticas desde el génesis. Pero por otro lado, nosotros nos inventamos y mejoramos nuestras matemáticas, que aunque incipientes, nos ayudan a entender este universo o a imaginar cómo serían otros universos, usando el poder de la mente.

Todo en matemáticas se demuestra

Esta frase es común oírlas en entornos de aprendizaje elemental o hasta en entornos académicos. Pero no pasa de ser una generalización más, producto de la férrea disciplina de las matemáticas de usar la demostración para desarrollar sus conceptos.

Es cierto que todo el desarrollo de las matemáticas implica el uso de la demostración rigurosa y el pensamiento lógico-deductivo para avanzar en conceptos, y teorías, y que nada es aceptado si no incluye una demostración formal.

Pero también es cierto, como ya lo indiqué en el artículo anterior, que los axiomas fundamentales, aquellos dogmas intocables que residen en las bases más profundas de las matemáticas, no se demuestran ni se cuestionan. A menos que seas Gauss o Lobachevski. Y ni siquiera Gauss o Lobachevski serían capaces de demostrar la falsedad de los axiomas fundamentales de las matemáticas, que ellos mismos cuestionan.

Y si quedara duda, solo hay que pedirle a un matemático que demuestre un axioma, que por definición es indemostrable. Es como pedirle a alguien que destruya lo indestructible. Si alguien intentara y lograra demostrar un axioma (como ya se ha intentado muchas veces), lo más probable sería que:

• Su demostración sea errónea.
• Termine en un caso de demostración circular (errónea).
• Termine creando nuevos axiomas.

De hecho, existe al menos una «demostración» de que no todo tiene «demostración» en matemáticas. Se trata de los Teoremas de incompletitud de Gödel, que entre sus conclusiones tiene que un sistema totalmente consistente como las matemáticas, implicará necesariamente, que contiene ciertos enunciados indemostrables.

Si se piensa bien, podríamos entender que tiene sentido que existan ciertos axiomas base para un conocimiento (Como sucede también en la física), de otra forma sería como crear algo a partir de la nada. No es de extrañar, entonces, que se le atribuya también a Gödel, una demostración matemática de la existencia de Dios.

Así que hay que dejar de repetir, como un loro, que todo en matemáticas se demuestra. Porque, en el sentido estricto, eso es un mito. Lo que sucede es que ningún profesor cuerdo de matemáticas, te exigirá que demuestres un axioma.

Los matemáticos son buenos calculando

Este es otro mito común y proviene probablemente de la falsa noción de que las matemáticas son solo realizar operaciones aritméticas complejas. Una representación de este mito sería, escuchar a alguien decir:

– Tú que eres matemático, ¿Cuánto es 314/27?

Probablemente alguien diestro en cálculo mental, pueda dar la respuesta exacta, pero eso no implica que sea un matemático o que entienda a fondo todos los conceptos que se esperan de alguien que ostente la carrera en matemáticas.

De hecho hay quienes dicen que, en general, los matemáticos son malos en Aritmética. Y es que hacer cálculos como 12.3 * 15, es solamente un problema de aritmética, que bien se puede resolver con una calculadora electrónica.

Quizá este mito provenga del hecho de que las matemáticas a nivel secundario y pre-universitario, al menos en nuestro país, se enfocan en crear verdaderas máquinas de cálculo aritméticas con poca o nula base realmente matemática, con el solo fin de alcanzar un cupo en alguna universidad.

Hay que separar los conceptos: Una cosa es ser bueno realizando cálculos mentales, y otra ser bueno para entender las teorías matemáticas. Sumar o multiplicar números de varias cifras, no tiene nada que ver con resolver ecuaciones diferenciales, demostrar un teorema o analizar grafos.

Pedirle a un matemático que resuelva un problema aritmético es, tal vez, como pedirle a un ingeniero de sistemas que llene una tabla de Excel o como pedirle a un ingeniero civil que levante un muro con sus propias manos. Una cosa es el trabajo del albañil y otra la del ingeniero.

Y es que matemáticas es mucho más que solo realizar operaciones. Es un mundo más complejo, más rico. Es otra forma de ver el mundo, como lo hace el poeta o el músico.

 

(1) Es posible, también, crear modelos de la realidad usando lenguajes de programación, como se hace frecuentemente para resolver problemas por cálculo numérico o simplemente cuando se implementan sistemas comerciales, que representan procesos de una empresa. Estos serían casos de modelos informáticos. También es posible crear modelos eléctricos de estructuras físicas como cuando se modela una masa oscilante con resistencias, bobinas y condensadores. Inclusive se puede entender el lenguaje humano, como una forma de modelar la realidad, pero a diferencia de los modelos matemáticos, no es muy preciso ni sirve bien para hacer predicciones.